
Simples Matemática
Ao longo do tempo muitos homens conseguiram atingir o êxtase da criação. A estes homens dá-se o nome de MATEMÁTICOS
quinta-feira, 7 de novembro de 2013
Reforço equação do 3° grau para o ensino médio
A forma canónica da equação cúbica ou do 3.º grau é
com
O método de resolução usual começa por transformá-la noutra, fazendo a substituição
:
– uma nova equação cúbica (em
) à qual falta o termo do 2.º grau:
cujos coeficientes são:
e
Uma solução de
é a dada pelo sistema em
e 
.
Os coeficientes são:
Agora temos
Os coeficientes são:
As três soluções são
Dividindo por
e ordenando o polinómio do lado esquerdo pelas potências decrescente de
, obtemos – se escolhermos 
Se exprimirmos a variável
na soma de duas outras
a equação
transforma-se em
Somos assim conduzidos ao problema de achar dois números
e
dos quais se sabe a soma
e o produto
. Como é bem sabido esses números são as duas soluções
e
da equação auxiliar do 2.º grau:
De facto
e
Resolvendo-a determinamos
Nesta notação o discriminante
é igual a
Consideremos, sem perda de generalidade,
e
. Introduzindo
e
em
, obtemos a solução
:
ou seja
e uma solução da equação inicial
Conhecida a solução
, podemos determinar as duas restantes
e
decompondo o polinómio do primeiro membro de
num produto de factores lineares:
ou
Os dois polinómios são equivantes se tiverem iguais coeficientes homólogos:
Novamente temos de determinar dois números
e
dos quais se conhece a soma (
) e o produto (
). Para esse fim formamos a equação do 2.º grau:
que resolvida dá as soluções
As três soluções da equação em
são então:
No caso do discriminante ser negativo,
, convertemos os complexos conjugados
e
à forma trigonométrica
Os módulos são iguais:
e os argumentos são simétricos, sendo o de
:
As três raízes cúbicas de
e
são (
)
Obtemos, respectivamente, para
,
e
as três soluções da equação
:
e as da equação original
:
Exemplos
1. Determine as soluções da equação
Pondo
a equação transforma-se em
uma vez que os seus coeficientes são
e
As suas soluções são
, a que correspondem as da equação na forma canónica 
2. Resolva
Como era de esperar a substituição é
e os coeficientes da equação em 
são simplesmente os da equação inicial divididos por
:
e
O discriminante é negativo
Assim, como
:
Tentando diminuir os erros de cálculo, reparemos que o inteiro
é uma solução. Se recalcularmos as outras duas, obtemos as soluções exactas:
e
3. Resolva a equação
Fazendo a substituição
obtém-se a equação
em que
e
Uma solução da equação em
é dada pela fórmula resolvente
a que corresponde a solução da equação em
:
As restantes soluções da equação em
são
e, portanto, as da equação em
são
Adenda: a equação seguinte aparece nesta questão de Rajesh K Singh no MSE
—
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